Геометрическая фигура призма: определение, виды, формулы площади поверхности и объема



Каждый понедельник!

бесплатный доступ ко всему функционалу Программы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике «90+ баллов на экзамене»

Хочешь узнать больше?

Поступи в топ вуз на бюджет

ЕГЭ математика

• Премиум-курс Анны Малковой
• Домашние задания с проверкой
• Доступ до 25 июня 2019
• 8 занятий в месяц
• База знаний (теория и практика)

4 800 рублей

Поступи в топ вуз на бюджет

ЕГЭ русский язык

• Премиум-курс Анны Можаровой
• Учтены все изменения в ЕГЭ 2019
• Уникальные авторские алгоритмы по решению каждого задания ЕГЭ
• 25 занятий для подготовки к тестовой части
• 2 лекции для подготовки к сочинению

4 900 рублей

Повышение квалификации

для преподавателей

• Премиум-курс Анны Малковой
• Все материалы для всех курсов
• Доступ неограничен
• До 12 занятий в месяц
• 4 мастер класса по преподаванию сложных задач

5 800 рублей

Начальный уровень

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

div >

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать — к делу!

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы

Главная формула объема призмы:

<katex> </katex>,

где <katex> </katex> — площадь основания,

<katex> </katex> — высота.

 

Необычная формула объема призмы:

<katex> </katex>,

где <katex> </katex> — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

<katex> </katex> — длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

<katex> </katex>

А теперь подробнее….

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

А теперь: рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

• Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
• Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
• А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы: все боковые грани прямоугольники; все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники; и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро — прямоугольники.

У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

<katex> </katex>

<katex> </katex> –площадь основания

<katex> </katex> – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то <katex> </katex> «превращается» в боковое ребро. И тогда

<katex> </katex>

– то же самое, что

<katex> </katex>

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

<katex> </katex>

<katex> </katex> — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

<katex> </katex> — длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна <katex> </katex>, а боковое ребро равно <katex> </katex>.

Найдём объём:

<katex> </katex>

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

<katex> </katex>

<katex> </katex>

<katex> </katex>

Подставляем в формулу объёма:

<katex> </katex>.

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна <katex> </katex>, боковое ребро равно <katex> </katex>.

<katex> </katex>

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

<katex> </katex>

Значит, <katex> </katex>.

Объем правильной шестиугольной призмы

<katex> </katex>

Что же такое <katex> </katex>? Как найти?

Смотри: шестиугольник <katex> </katex> состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Значит: <katex> </katex>

Ну и теперь <katex> </katex>.

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

 

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней. <katex> </katex>

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

<katex> </katex>, где <katex> </katex> — периметр основания.

<katex> </katex>.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна <katex> </katex>, а боковое ребро равно <katex> </katex>.

<katex> </katex>

Все боковые грани – прямоугольники. Значит <katex> </katex>.

<katex> </katex> — это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

<katex> </katex>.

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Определение

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

• Главная формула объема призмы:<katex> </katex>, где <katex> </katex> — площадь основания,<katex> </katex> — высота.
• Необычная формула объема призмы:<katex> </katex>, где <katex> </katex> — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,<katex> </katex> — длина бокового ребра.
• Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.<katex> </katex>.

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

Напиши внизу, в комментариях.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Комментарии

Введение

С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».

Определение многогранника

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Примеры многогранников

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

Рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Рис. 2

Основные элементы многогранников

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁. 

Треугольная призма

Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 3).

Рис. 3

Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

То есть АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А₁В₁С₁  равны.

2) Треугольники АВС и А₁В₁С₁  расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

АВС и А₁В₁С₁ – основания призмы.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н₁ одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН₁ на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Прямая призма

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Например, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС.  Ребро АА₁ является высотой этой призмы.

Рис. 4

Заметим, что боковая грань АА₁В₁В перпендикулярна к основаниям АВС и А₁В₁С₁, так как она проходит через перпендикуляр АА₁ к основаниям.

Наклонная призма

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А₁ перпендикуляр А₁Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА₁ на плоскость АВС.

Тогда угол между прямой АА₁ и плоскостью АВС это угол между прямой АА₁ и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А₁АН.

Рис. 5

Четырехугольная призма

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается.

1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁  расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, АС₁ – диагональ четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁.

Определение. Если боковое ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

Рис. 6

Параллелепипед

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ изображен на рис. 7.

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A₁B₁C₁ (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Рис. 7

Из точки А₁ опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А₁Н является высотой.

Шестиугольная призма

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁: ABCDEF = A₁B₁C₁D₁E₁F₁.

2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА₁║ВВ₁…║FF₁.

Рис. 8

Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

Правильная призма

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁.

Рис. 9

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма — прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA₁ ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

Площадь поверхности призмы

Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S_полн.

Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S_бок.

Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:

S_полн = S_бок+ 2S_осн.

Теорема о площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок = Р_осн ∙ h.

Рис. 10

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок = Р_осн ∙ h, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник).
2. Shkolo.ru (Источник).
3. Старая школа (Источник).
4. WikiHow (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.

Стереометрия — важный раздел геометрии, изучающий свойства фигур в трехмерном пространстве. В данной статье с точки зрения стереометрии рассмотрим класс геометрических объектов, который называется призмы, дадим определение призмы и перечислим ее основные виды и характеристики.

Что такое призма?

Прежде чем дать определение призмы, представим себе произвольный многоугольник на плоскости. Воспользовавшись операцией параллельного переноса этого многоугольника в пространстве, мы получим объемную фигуру. Эта фигура будет состоять из двух одинаковых многоугольников и нескольких параллелограммов. Это и есть призма произвольной формы. Рисунок ниже показывает, как выглядит шестиугольная призма.

Таким образом, можно дать следующее определение призмы: это объемная фигура, которая образована n параллелограммами и двумя одинаковыми n-угольными сторонами, расположенными в параллельных плоскостях. Одинаковые n-угольники называются основаниями фигуры, а ее параллелограммы образуют боковую поверхность.

Элементы призмы и ее параметры

В соответствии с определением призмы, можно выделить ее грани, вершины и ребра. Количество граней фигуры равно n+2, из которых 2 грани являются многоугольными основаниями. Количество вершин равно 2*n. Все они являются равноправными и образованы пересечением основания и двух боковых параллелограммов. Наконец, число ребер любой призмы составляет 3*n, причем 2*n ребер относятся к основаниям, а n ребер являются боковыми (образованы пересечением параллелограммов).

Призма — это совершенный многогранник, числа ребер, вершин и граней которого связаны следующим равенством:

число ребер = число граней + число вершин — 2.

Латинская буква n — это количество сторон (вершин) плоского многоугольника в основании.

Линейными параметрами призмы, знание которых позволяет однозначно определить ее геометрические свойства, являются следующие величины:

• высота призмы h;
• стороны основания a_i, где i = 1,…,n;
• длины боковых ребер b_i.

Высотой фигуры называется длина перпендикулярного отрезка, которые соединяет основания. По сути, высота — это расстояние между n-угольниками.

Помимо линейных параметров призмы, в задачах по геометрии иногда необходимо знать значения ее двугранных углов, чтобы однозначно описать свойства. Двугранные углы бывают двух видов:

• между боковыми параллелограммами;
• между параллелограммом и основанием.

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника позволяет связать значения двугранных углов с линейными параметрами фигуры.

Какие бывают фигуры класса призм?

Выше была приведена шестиугольная призма. Рисунок ниже показывает, как выглядит треугольная призма. То есть первой классификацией фигур изучаемого класса является количество сторон основания. Если это количество будет стремиться к бесконечности, то мы получим цилиндрическую поверхность.

Второй тип классификации зависит от формы боковых сторон. Выше было сказано, что они являются параллелограммами. Однако, если эти параллелограммы одновременно будут прямоугольниками или квадратами, то такая фигура называется прямой призмой. В противном случае говорят о косоугольной или наклонной фигуре. Как выглядит прямая и наклонная четырехугольные призмы, можно увидеть на рисунке ниже.

Заметим, что у прямых призм длины всех боковых ребер b_i равны между собой и равны высоте h.

Третья классификация призм базируется на форме их основания. Оно может быть вогнутым или выпуклым, соответственно призма называется вогнутой и выпуклой.

Наконец, самой важной классификацией является разделение всех фигур на призмы правильные и неправильные. Первые являются прямыми и образованы основаниями с одинаковыми сторонами и углами. Среди всех фигур четырехугольная правильная призма имеет собственное название — прямоугольный параллелепипед. Если у этого параллелепипеда все стороны равны, то он называется кубом.

Правильные призмы удобно изучать в плане таких свойств, как площадь поверхности и объем.

Площадь поверхности

Для рассмотрения вопроса поверхности призмы часто прибегают к изучению ее развертки. Для любой фигуры изучаемого класса развертка состоит из n параллелограммов и 2-х плоских n-угольников. Сложив площади всех граней, мы получим всю поверхность фигуры. Ниже показан пример развертки правильной пятиугольной призмы.

Для правильных призм можно записать общую формулу для площади S их поверхности:

S = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*a*h.

Первое слагаемое в выражении является площадью обоих оснований, второе слагаемое — это площадь боковых граней. Площадь S правильной фигуры является функцией двух параметров: стороны основания a и высоты фигуры h.

Объем фигуры

Объемом называется величина, которая отражает свойство вещества заполнять пространство. Независимо от вида призмы, ее объем рассчитывается по следующей формуле:

V = S_o*h.

Здесь S_o — одного основания площадь.

Если призма является правильной, тогда формула для V может быть записана в явном виде:

V = n/4*a²*ctg(pi/n)*h.

Как и площадь S, для правильной фигуры объем V также является функцией двух параметров.

Похожие статьи

</h2></h3>Используемые источники:

• https://youclever.org/book/prizma-1
• https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/mnogogranniki/ponyatie-mnogogrannika-prizma-ploschad-poverhnosti-prizmy
• https://www.syl.ru/article/454588/geometricheskaya-figura-prizma-opredelenie-vidyi-formulyi-ploschadi-poverhnosti-i-obyema

</h2></table></table></table></ul></table>