Как запомнить синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

Обычно тема тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) приводит к шоковому состоянию. Запомнить табличные значения для всех углов – это просто ужас, невозможно.

Однако, несколько простых советов могут помочь не перегружать свой мозг кучей ненужной информации.

Нужно запомнить хотя бы значения для синусов и то не для всех углов. Разберемся как это сделать, используя только пальцы левой руки.

Этот метод заключается в том, чтобы взять левую руку.

А точнее ладонь. Затем растопырить пальцы так, чтобы между мизинцем и большим пальцами образовался угол 90°. Тогда безымянный палец будет показывать 30°, средний – 45°, а указательный 60°. Как на рисунке.

Затем нужно пронумеровать эти пальцы в соответствии с рисунком. легко запомнить, что мизинец, который отвечает за угол 0°, становится номером 0, а далее по возрастанию.

Эти номера нужны для того, чтобы подставить их в формулу: , где n – номер пальца. 

Получаем значения синусов для углов от 0 до 90, которые чаще всего используются в школьном курсе. 

Зная синус угла, можно найти его косинус без проблем. Для косинусов используется та же формула, только пальцы нумеруются начиная с большого (90° = №0) и заканчивая мизинцем  (0° = №4) 

А зная синус и косинус угла можно найти его тангенс (синус разделить на косинус) и котангенс (косинус разделить на синус). Если подзабыли, как делить дроби, смотрите здесь.

Вот такая нехитрая математика!

« Буква и ее номер в алфавитеКак легко запомнить значения косинуса или триллер о Колобке »

Рубрика: Запомнить? Легко!

Как легко запомнить синус и другие определения тригонометрических функций

1) Сначала запоминаем, что синус и косинус «дружат» с гипотенузой. То есть в их определение она есть обязательно.

2) Слово «косинус» длиннее, чем «синус».

3) Слово «противолежащий» длиннее, чем слово «прилежащий».

4) Используем ассоциации  «коротко — длинно» и «длинно-коротко».

I. коротко                                   длинно

Синус    — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

II.   длинно                               коротко

Косинус — это отношение прилежащегокатета к гипотенузе.

Аналогично — с тангенсом и котангенсом. Предварительно запоминаем, что тангенс и котангенс «не дружат» с гипотенузой. То есть в их определении гипотенузы нет, только катеты.

I. коротко                                      длинно

Тангенс —  это отношение противолежащего катета к прилежащему.

II. длинно                                         коротко

Котангенс— это отношение прилежащего катета к противолежащему.

В тригонометрии еще много материала, который легко запомнить по ассоциации.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

<math><mrow><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mo>гипотенуза</mo></mrow></mfrac></mrow></math>

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

<math><mrow><mi>tg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

<math><mrow><mi>ctg</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>Прилежащий катет</mi></mrow><mrow><mi>Противолежащий катет</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник , угол <math><mi>C</mi></math> равен <math><mn>90</mn><mo>°:</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>tg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

<math><mi>ctg</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>C</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math>

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> ось <math><mi>y</mi></math> в точках <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math> и <math><mrow><mo>(</mo><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math>

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> ось <math><mi>y</mi></math> и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами <math><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>)</mo><mo>,</mo></mrow></math> – то есть от положительного направления оси <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться <math><mi>S</mi></math> (от слова start). Отметим на окружности точку <math><mi>A</mi><mo>.</mo></math> Рассмотрим <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>,</mo></mrow></math> обозначим его за <math><mrow><mi>α</mi><mo>.</mo></mrow></math> Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть <math><mrow><mo>∠</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mo>∪</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки <math><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi></math> (точка <math><mi>B</mi><mo>)</mo></math> и на ось игрек (точка <math><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

Отрезок <math><mi>O</mi><mi>B</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>x</mi><mo>,</mo></math> отрезок <math><mi>O</mi><mi>C</mi></math> является проекцией отрезка <math><mi>O</mi><mi>A</mi></math> на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Рассмотрим прямоугольный треугольник <math><mrow><mi>A</mi><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mo>:</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>O</mi><mi>B</mi></math>

<math><mi>sin</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></math>

Поскольку <math><mrow><mi>O</mi><mi>C</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></math> – прямоугольник, <math><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>O</mi><mo>.</mo></mrow></math>

Итак, косинус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>x</mi></math> (ось абсцисс), синус угла – координата точки <math><mi>A</mi></math> по оси <math><mi>y</mi></math> (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол <math><mi>α</mi></math> – тупой, то есть больше <math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>:</mo></mrow></math>

Опускаем из точки <math><mi>A</mi></math> перпендикуляры к осям <math><mi>x</mi></math> и <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math> Точка <math><mi>B</mi></math> в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку <math><mi>A</mi></math> по окружности, расположить ее в <math><mo>III</mo></math> или даже в <math><mo>IV</mo></math> четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от <math><mrow><mo>°</mo></mrow></math> до <math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью <math><mi>x</mi><mo>.</mo></math>  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы <math><mrow><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>45</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>60</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>,</mo></mrow></math><math><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>.</mo></mrow></math> Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось <math><mi>x</mi></math> и на ось <math><mi>y</mi><mo>.</mo></math>

Координата по оси <math><mi>x</mi></math> – косинус угла, координата по оси <math><mi>y</mi></math> – синус угла.

Пример:

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

<math><mrow><menclose><mrow><msup><mrow><mi>sin</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>cos</mi></mrow><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></menclose></mrow></math>

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике <math><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>:</mo></mrow></math>

<math><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>

<math><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>+</mo><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

<math><mi>sin</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>sin</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>150</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>30</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>135</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>45</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>45</mn><mo>°</mo></math>

<math><mi>cos</mi><mn>120</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></math>

Рассмотрим тупой угол <math><mi>β</mi></math>:

Для произвольного тупого угла <math><mrow><mi>β</mi><mo>=</mo><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></math> всегда будут справедливы следующие равенства:

<math><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>tg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>tg</mi><mi>α</mi></math>

<math><mi>ctg</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ctg</mi><mi>α</mi></math>

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

<math><mrow><mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></math>

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

<math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>A</mi></math>

<math><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>B</mi></math>

<math><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>⋅</mo><mi>cos</mi><mo>∠</mo><mi>C</mi></math>

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.Используемые источники:

• https://boeffblog.ru/matematika/lajfxaki/kak-zapomnit-sinusy-kosinusy-tangensy-i-kotangensy
• http://www.uznateshe.ru/kak-zapomnit-sinus-i-drugie-opredeleniya-trigonometricheskix-funkcij/
• https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/