Точная верхняя и нижняя грань

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число называется , если:

для

для {M}’;» title=»forall {M}'{M}’;» class=»latex» /> (любое число меньшее M верхней гранью не является).

( — супремум ).

Число называется , если:

для

для M: exists {x}’ in X:{x}'<{M}’;» title=»forall {M}’>M: exists {x}’ in X:{x}'<{M}’;» class=»latex» /> (любое число меньшее M верхней гранью не является).

( — инфимум ).

(если множество неограничено сверху, то пишем если множество неограничено снизу, то пишем )

Примечание: если не является точной верхней гранью множества  и , тогда {M}’;» title=»exists {M}'{M}’;» class=»latex» />

если не является точной нижней гранью множества  и , тогда M : forall {x}’ in X : {x}'<{M}’.» title=»exists {M}’>M : forall {x}’ in X : {x}'<{M}’.» class=»latex» />

Примеры:

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет и , то он единственный.

Рассмотрим для .

 Пусть множество  имеет 2 точных верхних грани:   и

Допустим M_{1}» title=»exists {x}’ in X: {x}’>M_{1}» class=»latex» />, что противоречит тому факту, что  

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел, удовлетворяющих равенству.

Докажем это:

. Так и есть, является верхней границей множества .

-sqrt{2}» title=»x> -sqrt{2}» class=»latex» />) будут элементами множества , причём . То есть какое бы рациональное число из мы не взяли, можно взять рациональное число из так, что оно будет находиться ближе к на числовой прямой.

Пусть— множество чисел, противоположных числам

Доказать, что

Пусть — элемент из множества противоположный элементу из множества .

Распишем точную нижнюю грань для множества по определению:

     .

Так как , .  

Тест «Верхняя и нижняя грани множества»

Навигация (только номера заданий)

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Результаты

Правильных ответов: из 5

Время вышло

Рубрики

1. Нет рубрики0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеровЗагрузка<label> Имя: </label><label> E-Mail: </label><label> Капча: </label>

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5
   

   1.

   Количество баллов: 1

   Укажите все верхние точные грани для множества X=(-1; 3.5)

   • <label> -1 </label>
   • <label> 4 </label>
   • <label> 3.5 </label>
   • <label> множество не имеет верхней точной грани </label>

   Правильно Неправильно

2. Задание 2 из 5
   

   2.

   Количество баллов: 1

   Укажите точную нижнюю грань множества X=(-18; -17,5]

   Правильно Неправильно

3. Задание 3 из 5
   

   3.

   Количество баллов: 1

   Множество может :

   • <label> иметь несколько точных верхних граней </label>
   • <label> иметь только одну точную верхнюю грань </label>
   • <label> не иметь точных граней </label>
   • <label> иметь точную верхнюю и нижнюю грань </label>

   Правильно Неправильно

4. Задание 4 из 5
   

   4.

   Количество баллов: 1

   Вставте пропущенные слова:

   • Тончная верхняя грань называется (supremum), а нижняя-(infimum) (ответы на латинице)

   Правильно Неправильно

5. Задание 5 из 5
   

   5.

   Количество баллов: 1

   Множество X=[1; 17]U{33; 35; 39}U(100;101) имеет supremum равный

   Правильно Неправильно

Таблица лучших: Тест «Верхняя и нижняя грани множества»

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Определения

Пусть дано частично упорядоченное множество $ (X,le) $ и его подмножество $ M subset X. $ Тогда элемент $ sin X $ называется точной верхней гранью или супре́мумом$ M $, если он является наименьшей верхней гранью $ M, $ то есть

• $ forall x in Mquad x le s; $
• $ forall s’in Xquad bigl( forall x in M quad x le s’ bigr) Rightarrow bigl( s le s’ bigr). $

Аналогично элемент $ iin X $ называется точной нижней гранью или инфимумом$ M $, если он является наибольшей нижней гранью $ M, $ то есть

• $ forall x in Mquad i le x; $
• $ forall i’in Xquad bigl( forall x in M quad i’ le x bigr) Rightarrow bigl( i’ le i bigr). $

Пишут:

• $ s = sup M; $
• $ i = inf M. $

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли $ sup M $ и $ inf M $ множеству $ M $ или нет. Если $ sin M, $ то говорят, что $ s $ является наибольшим элементом или максимумом $ M. $ Если $ iin M, $ то говорят, что $ i $ является наименьшим элементом или минимумом $ M. $

Примеры

• На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $ inf $ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества $ S=left{frac{1}{k} | kinBbb N right} = left{ 1, frac{1}{2}, frac{1}{3}, dots right} $

$ sup S = 1 $; $ inf S = 0 $.

• Множество положительных действительных чисел $ Bbb R_+ = { x | x>0 } $ не имеет точной верхней грани в $ Bbb R $, точная нижняя грань $ inf Bbb R_+ = 0 $.
• Множество $ X = { xinBbb Q | x^2 < 2 } $рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $ Bbb Q $, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$ sup X = sqrt{2} $ и $ inf X = -sqrt{2} $.

Свойства

• Для любого ограниченного сверху подмножества $ mathbb{R} $, существует $ sup $.
• Для любого ограниченного снизу подмножества $ mathbb{R} $, существует $ inf $.
• Вешественное число $ s $, является $ sup X $ тогда и только тогда, когда $ s $ есть верхняя грань $ X $ т.е. для всех элементов $ xin X $, $ xgeqslant s $.
• для любого $ varepsilon>0 $ найдётся $ xin X $, такой, что $ x+varepsilon > s) $ (т.е. к $ s $ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $ X $)
• Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.Используемые источники:

• https://ib.mazurok.com/2013/05/19/верхняя-и-нижняя-грани-множества/
• https://math.wikia.org/ru/wiki/точная_верхняя_и_нижняя_грань